在数学教学中如何向学生渗透分类讨论的思想
四川省广安市广安区悦来初级中学校 杨小燕
“分类讨论”是一种逻辑方法，是中学数学中一个极其重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。分类讨论是初中数学教学中的一个重要内容。本文根据笔者多年来的教学经验，谈一下如何帮助学生树立分类讨论的思想。
一、渗透分类思想，养成分类的意识
分类讨论一般应遵循以下的原则： 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准； 分类要完整，不重复，不遗漏； 有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题。每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。 如讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类： 通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。
二、在基本概念、公式的教学中树立分类讨论的思想
在一些涉及分类的基本概念的教学中，应使学生了解分类讨论必须有一个统一的分类标准，必须不重不漏，并初步掌握它在解题中的应用。比如，在有关绝对值的概念中，当去掉绝对值符号时，便要把绝对值内的字母分大于0，小于0，等于 0三种情况进行讨论；若已知∣a∣=3，∣b∣=2，求a+b值。在解这道题时，由∣a∣=3，得到a=3或a=-3,由∣b∣=2，得到b=2或b=-2。因此，对于a、b的取值，应分四种情况讨论，当a=3，b=2时，a+b的值为5；当a=3，b=-2时，a+b的值为1；当a=-3，b=2时，a+b的值为－1；当a=-3，b=-2时，a+b的值为－5，即a+b的值为5；1；－1；－5。在解这个数学问题时，由于它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论。在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”，而且要按照相同的标准进行讨论，只有掌握了分类讨论思想，在解题时才不会出现漏解的情况。
三、在含字母系数的方程的教学中树立分类讨论的思想
用字母表示数是代数的一个重要特点，把具体的数过渡到用字母表示数，这也渗透了抽象概括的思维方法，有利于培养学生思维的深刻性。由于字母所表示的数具有不确定性，因此在求解系数是含字母的代数式的方程时，需分类予以讨论。
如方程2kx-6x+8=0有几个实数根？学生往往不注意k对方程性质的影响，讨论或讲评中，使学生明确系数k决定方程的次数，从而分k=0，k≠0两类讨论。当k≠0时，再分△>0，△=0，△<0三种情况进行讨论。
又如二次函数y=a（x-1）2+m的图像过哪几个象限？这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。
四、在几何的解题教学中树立分类讨论的思想
在给定的几何条件下，由于图形的形状或位置不同含有不同的结果，或需用不同的方法处理，从而引发了几何的分类讨论问题。因此须引导学生在解题中自己动手画图时，应全面分析，尽可能突破思维定势，考虑到每一种可能的情形，从而培养学生思维的广阔性、灵活性。如甲、乙两人分别从A、B两地到C地，甲从A地到C地需3小时，乙从B地到C地需2小时40分钟，已知A、C两地间的距离比B、C两地间的距离远10千米，每行1km甲比乙少花10分钟。(1)求A、C两地间的距离；(2)假设AC、BC、AB这三条道路均是直的,试判定A、B两地之间距离d的取值范围。又如又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况去证，这就需要学生在自主画图测量、分析讨论方可以回答的问题。于是学生在笔者的引导下，兴趣盎然地进行探索活动，逐步体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，揭示分类讨论的本质为化繁为简，由特殊到一般，分而治之。
就分类讨论思想方法而言，在几何图形的解题过程中，一般是由几何图形的可变性引起的讨论，在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：等腰三角形的两边为4，6，求该三角形的周长？等腰三角形一个角是70°，求其他两个角的度数？等等
总之，利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。
